これが数学の解き方だ！

　灘中学の入試問題（算数）から一部改題したものがある。
「異なる3つの自然数があり、3数の和に4を加えたものは、3数の積に等しい。このような整数の組み合わせは2通りある。その組み合わせ及び2通りしかないことを証明せよ。」
これをボクなりに解いてみました。以下、数学嫌いの方にはむしずの走る文が続きますがご容赦下さい。
要するに、これだけ論理的に考えるのが数学の面白みということです。

　3数をa,b,c(a>b>c)とする。仮定より
a+b+c+4=abc
が成立するとする。この式を変換して
abc-a=b+c+4
a(bc-1)=b+c+4
この時、bcも自然数なので以下の場合が考えられる。
（１）bc=1のとき
b=1､c=1となり、b>cを満たさないため不適(3数の組み合わせ無し)。
（２）bc=2のとき
b=2,c=1となり、方程式を解くとa=7となる。これは題意に適する。
（３）bc=3のとき
b=3,c=1となり、方程式を解くとa=4となる。これは題意に適する。
（４）bc=4のとき
b=4,c=1となり（b=c=2は仮定に反する）、方程式を解くとa=2となる。
a>bを満たさないため不適。
（５）bc>4のとき
a(bc-1)は3aより大きい。さらに両辺にaを加えると
a+a(bc-1)=a+b+c+4　さらにa+b+c+4=abcなので
a+a(bc-1)=abc
左辺は4aより大きい。a>b>cより右辺は3aより小さい。
左辺>4a>3a>右辺となり題意に反する。よって不適。

よって、題意を満たす3数は(7,2,1)と(4,3,1)の2通りだけである。

　今回は、きっかけを下さった「瀬戸智子の枕草子」にトラックバックです。